HIMPUNAN (MATEMATIKA)

HIMPUNAN

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas.

Cara Penyajian Himpunan

  Enumerasi
Enumerasi adalah mendaftarkan semua anggota himpunan.

Contoh :
-  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.    
-  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
-  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
-  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
-  C  = {a, {a}, {{a}} }
-  K  = { {} }                                    
-  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }     
-  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

  Simbol - Simbol Baku
Penulisan himpunan yang sudah baku dikhususkan bagi himpunan yang telah baku dan sering digunakan dalam penjabaran matematika.

Contoh :
P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }
N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }
Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q =  himpunan bilangan rasional
R =  himpunan bilangan riil
C =  himpunan bilangan kompleks

Terdapat penulisan simbol Himpunan dalam bentuk Universal atau biasa disebut Himpunan Semesta, disimbolkan dengan U.

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

  Notasi Pembentuk Himpunan
Penulisan notasi adalah { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh  :
A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 8
A = { x | x  bilangan bulat positif lebih kecil dari  8} atau A  =  { x | x  P, x < 8 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}   

  Diagram Venn
Diagram venn adalah cara lain untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).

Jenis – Jenis Himpunan

A.  Himpunan Kosong
     Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.
     Contoh soal :

1. Sebutkan bilangan ganjil yang ada !
   Jika :
   Diketahui :
   A= {2, 4, 6, 8}
   B= {4, 6, 10}

             Jawabannya adalah {} atau Ø.
Karena pada himpunan A dan B tidak terdapat bilangan ganjil.

B.  Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Contoh soal :

1. Buktikan bahwa A bagian himpunan dari B!

Jika :
Diketahui :
A={2,  4, 6}
B={2, 3, 4, 5, 6}
Jawabannya: A ⊆ B= {2, 4, 6}
Kenapa {3, 5} tidak termasuk ?
Karena 3 dan 5 tidak termasuk anggota himpunan A.

C. Himpunan sama
Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.
Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A
Tiga hal yang harus diperhatikan dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :
1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}
2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}
3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B dan C = C
(b) Jika A = B, maka B = A
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

• Himpunan Ekuivalen

             Definisi: Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama.
Contoh : P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q ).

• Himpunan saling lepas lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua
himpunan itu tidakmempunyai satupun anggota yang sama .
Contoh :

P = { 1, 3, 5, 7, 9}

Q = { 2, 4, 6, 8, 10 }

perhatikan, tidak ada anggota himpunan P dan Q yang sama maka himpunan P dan Q adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi  P// Q

Kardinalitas Himpunan

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat diartikan sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} adalah 4. Himpunan {p, q, r, s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama. 

Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya Jumlah Anggota.

Himpunan Kardinalitas terdiri dari :

a.      Himpunan Berhingga (finit) dan Himpunan Tak berhingga (infinit)

         Himpunan Berhingga (finit) adalah himpunan yang anggotanya berbatas.

         Contoh :

         A = {Himpunan bilangan genap < 10 }  => A = ( 2,4,6,8 }

         B = {Himpunan bilangan ganjil < 10 }   => B = { 1,3,5,7,9 }

b.     Himpunan Tak Berhingga (infinit) adlah himpunan yang anggotanya berbatas.

        Contoh :

        A = { Himpunan bilangan genap }  =>  A = { 2,4,6,8,… }

        B = { Himpunan bilangan ganjil }  => B = { 1,3,5,7,9,… }

c.      Himpunan Denumerable dan Himpunan Nondenumerable

   – Himpunan Denumerable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan Himpunan N yaitu Himpunan bilangan asli.

     Contoh :

     A = { Himpunan bilangan asli }  =>A = { 1,2,3,4,5,… }

   – Himpunan Nondenumberable adalah jika sebuah himpunan ekuivalen dengan himpunan R yaitu himpunan bilangan riil.

     Contoh :

     A = { Himpunan bilangan riil } =>A = { 1.01,1.001,1.0001,… }

d.       Himpunan Countable dan Himpunan Uncountable

     –  Himpunan Countable jika himpunan itu merupakan himpunan finit atau denumberable.

        Contoh :

        Dalam kehidupan sehari-hari : Beras , Rambut (memiliki unit )

        Dalam bilangan : semua bilangan yang berbatas

    –  Himpunan Uncountable hika himpunan itu merupakan infinit atau nodumerable.

       Contoh :

       Dalam kehidupan sehari-hari : Air, Udara

       Dalam bilangan : bilangan riil

Daftar isi

1.     http://pratamasttg.blogspot.co.id/2013/10/cara-penyajian-himpunan.html

2.    https://purnawantomaksum.wordpress.com/bahan-ajar/himpunan/kardinalitas-himpunan/

3.    http://www.berpendidikan.com/2015/05/pengertian-himpunan-macam-macam-himpunan-contoh-himpunan.html

4.    https://lintiyuni.wordpress.com/matematika-diskrit/himpunan/jenis-jenis-himpunan/