ALJABAR BOOLEAN

-

Pengertian Aljabar Boolean

Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika ataupun bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.


Hukum Aljabar Boolean

Dengan menggunakan Hukum Aljabar Boolean ini, kita dapat mengurangi dan menyederhanakan Ekspresi Boolean yang kompleks sehingga dapat mengurangi jumlah Gerbang Logika yang diperlukan dalam sebuah rangkaian Digital Elektronika.
Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas:
(i)         a + 0 = a
(ii)  a × 1 = a
    2.  Hukum idempoten:
(i)        a + a = a
(ii)  a × a = a
    3. Hukum komplemen:   
(i)         a + a’ = 1
(ii)  aa’ = 0
    4. Hukum dominansi:
(i)         a × 0  = 0
(ii)   a + 1 = 1
    5. Hukum involusi:
(i)      (a’)’ = a
    6. Hukum penyerapan:
(i)         a + ab = a
(ii)  a(a + b) = a
    7. Hukum komutatif:
(i)         a + b = b + a
(ii)   ab = ba
    8. Hukum asosiatif:
(i)         a + (b + c) = (a + b) + c
(ii)   a (b c) = (a b) c
9. Hukum distributif:
(i)      a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c
   10. Hukum De Morgan:
(i)      (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1
  (i)   0’ = 1
       (ii)  1’ = 0

Fungsi Boolean
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke Bmelalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
                        f : Bn® B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
            Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1.       f(x) = x
2.      f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3.      f(x, y) = x’ y’
4.      f(x, y) = (x + y)’
5.      f(x, y, z) = xyz’                                                                                                                   
 Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.

Hukum Komulatif
Hukum Komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel atau sinyal Input tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.
Contoh :
Perkalian (Gerbang Logika AND)
X.Y = Y.X
Penjumlahan (Gerbang Logika OR)
X+Y = Y+X
Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat menukarkan posisi variabel atau dalam hal ini adalah sinyal Input, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya.

Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi logika tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.
Hukum Distributif
Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel-variabel atau sinyal Input dapat disebarkan tempatnya atau diubah urutan sinyalnya, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Output Keluarannya.

Hukum AND
Disebut dengan Hukum AND karena pada hukum ini menggunakan Operasi Logika AND atau perkalian.

Hukum OR
Hukum OR menggunakn Operasi Logika OR atau Penjumlahan. 

Hukum Inversi
Hukum Inversi menggunakan Operasi Logika NOT. Hukum Inversi ini menyatakan jika terjadi Inversi ganda (kebalikan 2 kali) maka hasilnya akan kembali ke nilai aslinya.
Jadi, jika suatu Input (masukan) diinversi (dibalik) maka hasilnya akan berlawanan. Namun jika diinversi sekali lagi, hasilnya akan kembali ke semula.

Minterm
Maxterm
x
y
z
Suku
Lambang
Suku
Lambang
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x’y’z’
x’y’z
x‘y z’
x’y z
x y’z’
x y’z
x y z’
x y z
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x + y + z
 x + y + z’
x + y’+z
x + y’+z’
x’+ y + z
x’+ y + z’
x’+ y’+ z
x’+ y’+ z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7

    Contoh 1 :
             Nyatakan tabel kebenaran dibawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS!
x
y
z
f(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1

Penyelesaian :


(a)   SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah
f(x, y, z) =  x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),                  
f(x, y, z) =  m1 + m4 + m7 = å (1, 4, 7)
(b) POS
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010,  011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
 f(x, y, z)  =  (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)
   (x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)                             
      atau dalam bentuk lain,               
f(x, y, z) =  M0 M2 M3 M5 M6 = ∏(0, 2, 3, 5, 6) 

contoh 2 :
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:

     (a) SOP
     x  = x(y + y’)
         = xy + xy’
         = xy (z + z’) + xy’(z + z’)
         = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

     y’z = y’z (x + x’)
           = xy’z + x’y’z

     Jadi  f(x, y, z)   = x + y’z
                                  = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
                                  = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz                       
       atau  f(x, y, z)   = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)                  

(b) POS
          f(x, y, z) = x + y’z
                        = (x + y’)(x + z)

          x + y’ = x + y’ + zz’
                    = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

          x + z = x + z + yy’
                  = (x + y + z)(x + y’ + z)

          Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
                           = (x + y  + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
          atau f(x, y, z) = M0M2M3 = ∏(0, 2, 3)
                                                













Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TERMINOLOGI PADA POHON

-
Gambar
Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar ( rooted tree ). 1.      Pohon berakar adalah pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar. 2.     Akar mempunyai derajat masuk nol dan simpul-simpul lainnya berderajat masuk sama dengan satu. 3.     Daun atau simpul terminal adalah simpul yang mempunyai derajat keluar sama dengan nol. 4.     Simpul dalam atau simpul cabang adalah simpul yang mempunyai derajat keluar tidak sama dengan nol Terminologi pada Pohon Berakar 1.      Child atau children (Anak) dan parent (orangtua) 2.     Path (lintasan) 3.     Descendant (Keturunan) dan ancestor (leluhur) 4.     Sibling (saudara kandung) 5.  ...
Baca selengkapnya

GERBANG LOGIKA & RANGKAIAN KOMBINASI GERBANG LOGIKA

-
Gambar
Rangkaian logika   adalah rangkaian yang menerapkan dasar-dasar logika dalam pemakaiannya. Dasar-dasar logika adalah operasi yang menerapkan  Pada umumnya rangkaian logika menggunakan gerbang-gerbang logika yang terintegrasi dalam satu IC. Gerbang Logika adalah rangkaian dengan satu atau lebih dari satu sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal berupa tegangan tinggi atau tegangan rendah. Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni 0 dan 1 dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean. Dikarenakan analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga disebut Rangkaian logika. Rangakaian logika sering kita temukan dalam sirkuit dig...
Baca selengkapnya

MANAJEMEN USER

-
Manajemen User Manajemen User , merupakan salah satu tugas dari Administrator adalah membuat User baru, membuat hak aksesnya. Membuat user baru, agar user baru bisa login ke dalam sistem operasi yang digunakan                         Untuk melihat daftar user bisa di lihat dalam File/etc/passwd,  di dalam terdapat beberapa informasi mengenai username, password, User ID, group ID, deskripsi, direktori name dan shell, yang digunakan user tersebut, yang di pindahkan dengan tanda “:” (Ttitik dua) pada setiap barisnya.              File/etc/passwd  merupakan file yang berisi informasi mengenasi user dan mempunyai format teks ASCII. File ini dapat di baca oleh seluruh User, tetapi hanya dapat di ubah oleh Super User. Setiap baris memiliki seorang User yang terdiri dari 7 Kolom ya...
Baca selengkapnya